♣ ♦ ♥ ♠ 　切り札のフィットする確率　 ♠ ♦ ♥ ♣

1. はじめに
2. 切り札のフィットする確率（１スーター） ---- 確率の表(1)
3. 切り札のフィットする確率（２スーター） ---- 確率の表(2)
4. 切り札のフィットする確率（ハンド・パターンごと）Rule of 20 の意味 ---- 確率の表(3)
5. 切り札の枚数と発生確率 ----- 確率の表(4)
6. 切り札の偏りかたの相関 ----- 確率の表(5)
7. 確率の計算方法 [表(1)]
8. 確率の計算方法 [表(2)]
9. 確率の計算方法 [表(3)]
10. 確率の計算方法 [表(4),(5)]

　 ブリッジでは，確率の数値を大まかに把握していることが必要です。
　 ブリッジの本によく載っているのは，たとえば，
　　　『７枚のスートが，ディフェンス側の二人に どのように分かれるか』
という確率です。これは，ディクレアラーがプレイする上で知っておくべき確率です。

　ところが，そのほかに，ビッドの過程でも確率について大まかに理解している必要があります。 これについては，確率の表を見かけることがほとんど無いので，自分で計算してみました。
　 計算式などは，すべて後ろの方にまとめてあります。

　 最初に取り上げるのは，たとえば，

その結果を 表(1) に示します。
計算式に関心のある方は，後の方をお読み下さい。

《 確率の表(1) 》

同一スートでの 自分の枚数とパートナーの枚数の相関 [ 数値は 発生確率(%) ]
自分の枚数	8枚以上のフィット確率	パートナーの枚数
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
0	1.2	0.1	1.5	7.4	18.7	27.5	24.8	13.9	4.9	1.0	0.1	0.0	0.0	0.0	0.0
1	3.4	0.2	2.6	10.6	22.9	28.6	21.6	10.1	2.9	0.5	0.0	0.0	0.0	0.0
2	8.5	0.5	4.1	14.5	26.7	28.1	17.7	6.7	1.5	0.2	0.0	0.0	0.0
3	18.1	0.8	6.4	19.2	29.6	25.9	13.3	4.0	0.7	0.1	0.0	0.0
4	33.7	1.5	9.6	24.2	31.1	22.2	9.1	2.1	0.3	0.0	0.0
5	54.4	2.5	13.9	29.2	30.6	17.4	5.4	0.9	0.1	0.0
6	76.3	4.3	19.5	33.4	27.8	12.1	2.7	0.3	0.0
7	92.9	7.1	26.2	35.7	22.8	7.1	1.0	0.1
8	100	11.4	33.8	35.2	16.1	3.2	0.2
9	100	18.2	41.1	30.8	9.0	0.9
10	100	28.4	46.2	22.2	3.1
11	100	43.9	45.6	10.5
12	100	66.7	33.3
13	100	100

　 この表の見方を説明しましょう。
　 あなたがたとえば，スペードを 6 枚持っているとします。このとき，パートナーがスペードを持っている確率は
　　　　　　2 枚の場合が 33.4 %　　3 枚の場合が 27.8 %　　4 枚の場合が 12.1 %，･･･
　 それで，合計 8 枚ならフィットがあると考えてこれらの数値を合計すると，スペードでフィットがある確率が 76.3 % と なります。

　 この確率 76.3 % がかなり高いので，6 枚の良いスートがあったら，パートナーに 2 枚以上を 期待してプリエンプトしてよい･･･と言えます。
　 分かりやすく言うと，自分で 6 枚持っていれば，４回のうち３回は合計 8 枚以上のフィットがあります。

　また，自分が 5 枚持っているとき，パートナーが 3 枚以上でサポートしてくれる確率は 54.4 % であることが分かります。 １♠ や １♥ でオープンしたときの経験と合っているでしょうか･･･。

　 次は，２スーターの場合です。たとえば，

　 いくつか説明を加えておきましょう。

• 　この表の先頭にある 3-3 の場合とは，3-3-4-3 のバランスハンドで １NT オープンしたときに， レスポンダーがトランスファーを使う確率 35.2 % です。つまり，どちらのメジャースートも 3 枚の 場合には，ほぼ３回に１回の割合でトランスファーによるフィットがあります。
• 　4-4 の２スートの場合には，１スートしか示せないとフィット確率が 33.7 % だったのが 60.3 % と ほぼ倍増します。したがって，２スートをビッドできるかどうかで かなりの違いがあることが分かります。
• 　5-4 とか 5-5 の場合にも これははっきりしており，5 枚の１スートだけでは 54.4 % だった確率が， それぞれ 74.2, 83.5 % に跳ね上がります。5-5 の２スーターが非常に有利なことが，この数字からも裏づけられます。

　 確率の計算をらくにできるようになったので，今度は，ハンド・パターンごとにフィット確率を計算してみました。

　 ここでは，とくに，4-3-3-3 のバランスハンドに注目します。経験からよく知られていることですが， 4-3-3-3 の形は 何をするにも不利です。
　 スートのコントラクトでは，切り札のフィットが見つかりくいし，仮に見つかっても， 自分の手では切ることができません。そうかと言って，ノートランプでは，長い(マイナー)スートで 走ることもできません。結局， 4-3-3-3 の場合には，高い HCP を持っていないと勝負になりません。 そのため，4-3-3-3 の形では 12 HCP でもオープンしないのが普通です。
　 こういう 4-3-3-3 型ハンドの不利な状況を，フィット確率という数値により定量することが目的です。
　 確率の計算結果は，次のようになりました。

《 確率の表(3) 》

ハンド・パターン	フィットする確率(%)		Rule of 20 によるカウント
	8枚以上	9枚以上
4-3-3-3	76.4	25.6	7
4-4-3-2	79.1	29.0	8
4-4-4-1	83.1	34.0	8
5-3-3-2	82.5	34.5	8
5-4-2-2	84.5	37.5	9
5-4-3-1	85.8	39.2	9
5-4-4-0	89.3	44.4	9
5-5-2-1	89.5	46.7	10
5-5-3-0	91.0	48.9	10

　4-3-3-3 と 4-4-3-2 の二つの場合には，フィット確率が低いですが，とくに 4-3-3-3 では 際立って確率が低くなっています。このように，4-3-3-3 が損な形であることは，フィット確率の低さからも 裏付けられました。

　最後の欄に示したのは，２スートの合計枚数です。ルールオブ 20 によるカウントとフィット確率が 良い比例関係（１次式の関係）にあることが分かります。
　数字だけでは分かりにくいので，これを，右のようにグラフにしてみました。
　縦軸はフィット確率で，上の方は 8 枚フィット，下の方は 9 枚フィットの確率です。 第１スートの枚数(4, 5, 6) により，どちらも三色に色分けしています。横軸には，上位２スートの合計枚数を取りました。 このグラフから，フィット確率と Rule of 20 のカウントが非常に強い相関を持つことが分かります。
　オープニング・ビッドの段階では自分のカードしか見えていないので，自分の手がパートナーの手と どのくらいよくフィットするかは全く分からないのですが，Rule of 20 に従えば，フィット確率の 高いハンドをオープンしやすいと言えます。

　 Rule of 20 について私がこれまで漠然と理解していたのは(正確に言うと，理解していると思っていたのは) 『もしもパートナーとフィットがあれば，短いスートで切れるとか，長いスートで走れるから有利』 と いうことでした。でも，「もしも」と言うのは，間違いだったのです。Rule of 20 を使えば

　 こんどは，たとえば，
　　　　　『NS ペアが合計して 10 枚の切り札を持つ確率はいくらか ? 』
というような問題です。計算の結果は 次の通りです。

《 確率の表(4) 》

枚数	7	8	9	10	11	12	13
確率(%)	15.7	45.7	28.1	8.7	1.6	0.16	0.01

　 この表から，合計 8 枚の場合が最も多い(45.7%) ことが 分かります。次に多いのが 9 枚で， この二つで 73.9 % を占めます。10 枚の切り札は，約11回に１回の割合で発生します。

　 最後に計算するのは，NS ペアの切り札の枚数と，EW ペアの切り札の枚数の相関です。たとえば，

この表についても，説明を加えておきましょう。

• 　この表の見出しで，8d とか 9d と書いてあるのは，ダブルフィットです。8d は，２ スートでの 8 枚フィットを意味します。 8 枚のダブルフィットは， 9 枚フィットと同等以上のパワーがあると考えて，この表では別建てで数えました。
  　それから，9d の欄には，[９枚＋８枚] と [９枚＋９枚] という ２種類のダブルフィットを 合算して集計しています。
• 　星印(*) は，ありえない場合です。確率の値が正確に 0 です。
• 　全体として，こちらがよくフィットしていれば，相手もよくフィットしています。 つまり，カードの強さの分布はハンドによってまちまちですが，カードの枚数の分布は， かなり公平です。

　 確率の計算は，結果の数値を知れば十分という方が大部分でしょうが，でも，どうやってそれを計算したかを 書いておかないと，その数値が正しいという保証がありません。そこで，２項係数 _nC_r を 使った計算方法をここに書き留めておくことにします。

　 表(1) では，たとえば，

　 スペードの枚数に注目して考えると，

1. N が持つ 13 枚のうち，スペードが a 枚，その他のスートが 13−a 枚なので，この組み合わせは ₁₃C_a 通りあります。
   
2. S が持つ 13 枚のうち，スペードが x 枚，その他のスートが 13−x 枚なので，この組み合わせは ₁₃C_x 通りあります。
   
3. E と W が持つ 26 枚のうち，スペードが 13−a−x 枚，その他のスートが 13+a+x 枚なので，この組み合わせは ₂₆C_13−a−x 通りあります。
   

　 なお，総和の計算では，２項係数の公式
　　　　　_x　nC_x × _mC_p−x 　＝　 _n+mC_p
を使いました。

　 表(2) では，たとえば，

1. スペードの枚数に注目して考えると，
   合計 13 枚のうち，N が a 枚，S が x 枚，残りの 13−a−x 枚を E と W が持つので，この組み合わせは ₁₃C_a × _13−aC_x 通りあります。
   
2. ハートの枚数に注目して考えると，
   合計 13 枚のうち，N が b 枚，S が y 枚，残りの 13−b−y 枚を E と W が持つので，この組み合わせは ₁₃C_b × _13−bC_y 通りあります。
   
3. ダイヤモンドとクラブの 26 枚は，ひとまとめにして考えます。
   26 枚のうち，13−a−b 枚を N が持ち，残りの 13+a+b 枚を S, E, W の三人で分けます。そのうち，S は 13−x−y 枚 を 持つので，場合の数は，₂₆C_13−a−b × _13+a+bC_13−x−y 通り あります。

　 表(3) では，たとえば，

1. スペードの枚数に注目して考えると，
   合計 13 枚のうち，N が a 枚，S が x 枚，残りの 13−a−x 枚を E と W が持つので，この組み合わせは ₁₃C_a × _13−aC_x 通りあります。
   
2. ハートの枚数に注目して考えると，
   合計 13 枚のうち，N が b 枚，S が y 枚，残りの 13−b−y 枚を E と W が持つので，この組み合わせは ₁₃C_b × _13−bC_y 通りあります。
   
3. ダイヤモンドの枚数に注目して考えると，
   合計 13 枚のうち，N が c 枚，S が z 枚，残りの 13−c−z 枚を E と W が持つので，この組み合わせは ₁₃C_c × _13−cC_z 通りあります。
   
4. 最後に，クラブに注目すると，
   13 枚のうち，13−a−b−c 枚を N が持ち，残りの a+b+c 枚を S, E, W の三人で分けます。そのうち，S は 13−x−y−z 枚 を 持つので，場合の数は，₁₃C_{13−a−b−c} × _a+b+cC_{13−x−y−z} 通り あります。

　表(5) のような確率は，次のように考えて計算します。

　52 枚のカードをどう配るかという問題ですが，いまは，個々のプレイヤーへの配り方は問題になっていません。 各ペアへのカードの分配だけが問題になっています。したがって，
　　　　　「52 枚のカードを ２組のペアに 26 枚ずつ配る」
と考えます。このときの配り方は，組み合わせの記号を使って，全部で ₅₂C₂₆ 通りあります。この ₅₂C₂₆ 通りの 分配法（根元事象）がどれも同様に確からしいと仮定して，確率を計算します。

　 NS ペアに配られた 26 枚のカードのうち，スペードが s 枚，ハートが h 枚，ダイヤモンドが d 枚， クラブが c 枚としましょう。 このとき，もちろん
　　　　　　s + h + d + c = 26
が成り立っています。このような配り方は
　　　　　　₁₃C_s × ₁₃C_h × ₁₃C_d × ₁₃C_c
だけあります。なぜなら，各スート毎に 13 枚のカードをこのように配るからです。もしも NS ペアの最も長いスートが 7 枚で
　　(a) 7 - 7 - 6 - 6
という分布の場合には，この数値は，たとえば
　　　　　　₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₆ × ₁₃C₆
となりますが，実際には　(s, h, d, c) = (7, 7, 6, 6) だけでなく (7, 6, 7, 6) などのように ₄C₂ = 6 通りがあるので， これを掛けて，
　　　　　　₄C₂ × ( ₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₆ × ₁₃C₆ )　＝　5202 59937 50016
となります。

同じように考えると
　　(b) 7 - 7 - 7 - 5
という分布の場合には，この数値は
　　　　　　₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₅
となりますが，実際には　(s, h, d, c) = (7, 7, 7, 5) だけでなく (7, 7, 5, 7) などのように ₄C₁ = 4 通りがあるので， これを掛けて，
　　　　　　₄C₁ × ( ₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₇ × ₁₃C₅ )　＝　2601 29968 75008
となります。 　この二つの場合 (a) と (b) の比をとると，₁₃C₆ = ₁₃C₇ であることに注意して， その結果は
　　　　　　6 × ₁₃C₆ ： 4 × ₁₃C₅ = 2 ： 1
です。上の２つの数字の比が２倍になっていることからも，これは分かります。

　さらに，上の２つの数字を加えて，全体の場合の数
　　　　　　₅₂C₂₆　＝　49591 85320 48104
で割ると，7 枚フィットの発生確率 15.736254% が得られます。

　 以上のようにして，すべての場合の確率を（VB でプログラムを作成して）計算しました。したがって，上の表(1)〜(5) の確率は，シミュレーションに よるものではなく，すべて厳密な数値です。

　 なお，ブリッジで確率を計算するときの考え方は，Durango Bill さんの ウェブサイト に詳しく説明されています。